순열 조합 계산기
nPr·nCr과 중복을 허용한 경우까지 내고, 그중 하나를 맞힐 확률도 함께 봅니다.
순서를 따지면 순열, 안 따지면 조합입니다. 「1등·2등을 뽑는다」는 순열이고 「대표 두 명을 뽑는다」는 조합입니다. 큰 수에서는 팩토리얼을 그대로 쓰면 안 됩니다 — 70! 은 이미 부동소수점 범위를 넘어 무한대가 되므로, 이 화면은 필요한 만큼만 곱하고 나누면서 셉니다. 그래서 100C50 같은 값도 제대로 나옵니다.
n 에서 r 개
입력값은 이 브라우저에 자동 저장돼, 다시 방문해도 그대로 남아 있어요
고를 수 있는 것이 모두 몇 가지인가.
그중 몇 개를 고르는가.
경우의 수
조합 nCr
8,145,060
경우의 수
- 순열 nPr
- 5,864,443,200
- 중복순열 nʳ
- 8,303,765,625
- 중복조합 nHr
- 15,890,700
- n!
- 1.1962e+56
그중 하나를 맞힐 확률
1.228e-7
몇 번에 한 번
8,145,060
값이 너무 커서 정확하지 않습니다.
순서를 따지면 순열, 안 따지면 조합입니다. 1등·2등을 뽑으면 순열이고 대표 두 명을 뽑으면 조합입니다.
안전 정수 범위를 넘는 값은 어림으로 표시됩니다.
45개에서 6개 — 다섯 값이 어떻게 갈리나
기본값 n = 45, r = 6 에서 순열 45P6 은 45×44×43×42×41×40 = 5,864,443,200 입니다. 같은 여섯 개를 늘어놓는 방법이 6! = 720 가지이므로 조합 45C6 은 그것을 720으로 나눈 8,145,060 입니다. 중복순열 45⁶ 은 8,303,765,625, 중복조합 45H6 은 50C6 = 15,890,700, 45! 은 약 1.196×10⁵⁶ 입니다. 같은 두 숫자에서 이만큼 크기가 다른 다섯 값이 나오니, 어느 것을 쓸지는 이름보다 「무엇을 세려는가」로 고르는 것이 안전합니다.
팩토리얼을 다 곱하지 않고 세는 방법
nCr 은 n!/(r!(n−r)!) 을 그대로 계산하지 않습니다. r과 n−r 중 작은 쪽을 k로 잡고, 1부터 k까지 한 단계씩 (n−k+i)를 곱하고 i로 나누는 것을 되풀이합니다. 매 단계의 값이 그 자체로 어떤 조합 수라 늘 정수이고, 중간이 답보다 커지지 않습니다. 그래서 100C50 ≒ 1.0089×10²⁹ 도 나옵니다. 값이 약 9,007조(2⁵³)를 넘으면 자릿수를 다 적어도 뒷자리가 거짓이라 지수 표기로 바꿉니다 — 20! = 2.4329×10¹⁸ 부터 그렇습니다. 171! 은 부동소수점 범위를 넘어 ∞ 로 나옵니다.
확률 칸은 「그중 하나」의 확률입니다
확률은 1/nCr 입니다. 모든 조합이 같은 확률로 나온다고 놓고, 미리 고른 한 조합이 딱 맞을 확률을 냅니다. 45C6 이면 1.228×10⁻⁷, 「몇 번에 한 번」은 8,145,060 입니다. 지수 표기 e-7 은 소수점을 왼쪽으로 일곱 자리 옮기라는 뜻이라 0.0000001228 입니다. 여섯 개 중 다섯 개만 맞힐 확률이나 보너스 번호는 세지 않습니다. 그것은 맞힌 개수별로 조합을 나눠 곱해야 하는 다른 계산입니다.
중복을 허용하면 r 이 n 보다 커도 됩니다
순열과 조합은 r > n 이면 고를 것이 모자라 0이고 화면이 경고를 띄웁니다. 그러나 중복순열 nʳ 과 중복조합 (n+r−1)Cr 은 그 경우에도 값이 있습니다 — n = 3, r = 5 면 3P5 = 3C5 = 0 이지만 3⁵ = 243, 3H5 = 7C5 = 21 입니다. 네 자리 비밀번호는 10⁴ = 10,000 가지이고, 0~9 에서 넷을 순서 없이 중복 허용해 고르면 10H4 = 13C4 = 715 가지입니다. n 과 r 은 1,000까지 넣을 수 있습니다.
자주 묻는 질문
Q로또 1등 확률은 얼마인가요?
45개에서 6개를 순서 없이 고르므로 45C6 = 8,145,060 가지이고, 그중 하나이므로 약 814만분의 1입니다. n에 45, r에 6을 넣으면 나옵니다.
Q중복조합은 어떤 경우인가요?
같은 것을 여러 번 골라도 되는 경우입니다 — 세 종류 아이스크림에서 두 스쿱을 고를 때 같은 맛을 두 번 골라도 된다면 3H2 = 6 가지입니다. 계산은 (n+r−1)Cr 로 바꿔서 합니다.