최대공약수 최소공배수 계산기
여러 수의 최대공약수와 최소공배수를 내고, 소인수분해와 약수까지 보여 줍니다.
셋이 서로 얽혀 있어 한 화면에 둡니다 — 소인수분해를 해 두면 최대공약수와 최소공배수가 그 위에서 바로 읽힙니다. 공통으로 든 소인수를 작은 지수로 모으면 최대공약수이고, 모든 소인수를 큰 지수로 모으면 최소공배수입니다. 수를 두 개만 넣어도 되고 여러 개를 넣어도 됩니다.
숫자
두 개도 되고 여러 개도 됩니다. 자연수만 셉니다.
약수와 배수
최대공약수
6
최소공배수
5,040
수마다
| 수 | 소인수분해 | 약수 개수 | 소수 |
|---|---|---|---|
| 48 | 2^4 × 3 | 10 | 아니오 |
| 180 | 2^2 × 3^2 × 5 | 18 | 아니오 |
| 210 | 2 × 3 × 5 × 7 | 16 | 아니오 |
공통으로 든 소인수를 작은 지수로 모으면 최대공약수, 모든 소인수를 큰 지수로 모으면 최소공배수입니다.
안전 정수 범위(약 9,007조)를 넘는 수는 정확하지 않을 수 있습니다.
48·180·210 을 손으로 풀면
기본값 셋을 소인수분해하면 48 = 2⁴×3, 180 = 2²×3²×5, 210 = 2×3×5×7 입니다. 셋에 모두 든 소인수는 2와 3이고 작은 지수를 고르면 2×3 = 6, 이것이 최대공약수입니다. 최소공배수는 나온 소인수를 전부 큰 지수로 모은 2⁴×3²×5×7 = 5,040 입니다. 표의 약수 개수는 지수마다 1을 더해 곱한 값이라 48은 (4+1)(1+1) = 10개, 180은 3×3×2 = 18개, 210은 2⁴ = 16개입니다.
최대공약수는 소인수분해 없이 냅니다
화면은 유클리드 호제법을 씁니다. 큰 수를 작은 수로 나눈 나머지로 바꿔 가며 나머지가 0이 될 때까지 되풀이하는 것입니다. 180과 48이면 180 = 3×48 + 36, 48 = 1×36 + 12, 36 = 3×12 + 0 이므로 12입니다. 수가 셋 이상이면 앞의 결과와 다음 수를 다시 넣습니다 — gcd(12, 210) = 6. 최소공배수도 같은 식으로 둘씩 갑니다. lcm(48, 180) = 48×180÷12 = 720, lcm(720, 210) = 720÷30×210 = 5,040. 곱하기 전에 먼저 나누므로 큰 수에서도 중간값이 덜 넘칩니다.
소인수는 제곱근까지만 찾습니다
n의 소인수 가운데 √n보다 큰 것은 많아야 하나입니다. 그래서 2와 3을 먼저 걷어 낸 뒤 5, 7, 11, 13, … 처럼 6k±1 꼴만 √n까지 시험하고, 남은 것이 1보다 크면 그것이 마지막 소인수입니다. 1,000,000,007 처럼 열 자리 소수도 3만 번 남짓 나눠 보면 끝납니다. 「소수」 열이 「예」인 수는 소인수가 자기 자신 하나뿐인 수이고, 약수는 1과 자기 자신 둘입니다. 1은 소수가 아니며 소인수분해도 비어 있습니다.
넣은 수를 어떻게 읽나
쉼표·쌍반점·띄어쓰기·줄바꿈 어느 것으로 갈라도 됩니다. 소수점이 있으면 버리고 정수만 남기며(3.7 → 3), 0과 음수는 셈에서 뺍니다. 수가 하나뿐이면 최대공약수와 최소공배수는 그 수 자신입니다. 수가 둘 이상인데 최대공약수가 1이면 서로소라고 알려 줍니다. 최소공배수는 빨리 커지므로 약 9,007조(2⁵³)를 넘으면 끝자리를 믿을 수 없습니다 — 서로소인 여덟 자리 수 둘의 곱이면 이미 그 근처입니다.
자주 묻는 질문
Q최소공배수가 왜 두 수의 곱이 아닌가요?
두 수가 서로소일 때만 곱이 최소공배수입니다. 공통 인수가 있으면 그만큼 중복되므로 곱을 최대공약수로 나눠야 합니다 — lcm(a,b) = a × b ÷ gcd(a,b). 4와 6이면 24가 아니라 12입니다.
Q1은 소수인가요?
아닙니다. 소수는 1보다 큰 자연수 가운데 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수로 정의합니다. 1을 소수로 치면 소인수분해가 하나로 정해지지 않아(1을 몇 개든 곱할 수 있으므로) 산술의 기본정리가 깨집니다.