順列と組合せ
順列・組合せ・重複を許す場合をまとめて出します。階乗も併せて示します。
順番を区別するのが順列、しないのが組合せです。10人から3人を選ぶだけなら120通りですが、1位・2位・3位を決めるなら720通りになります — 同じ3人でも並べ方が6通りあるためです。この画面は四つの場合(順序あり/なし × 重複あり/なし)を並べて示すので、どれを使うべきか迷ったときに数の大きさから見当がつきます。
n個からr個を選ぶ
入力した値はこのブラウザに自動保存され、次に来ても残っています
選ぶ対象がいくつあるか。
そのうち何個取るか。
通り数
組合せ nCr
8,145,060
通り数
- 順列 nPr
- 5,864,443,200
- 重複を許す順列 nʳ
- 8,303,765,625
- 重複を許す組合せ nHr
- 15,890,700
- n!
- 1.1962e+56
一つ当てる確率
1.228e-7
何通りに一つ
8,145,060
大きすぎて正確に出せません。
順列は順番を区別し、組合せは区別しません — 1位と2位を決めるか、代表を二人選ぶかの違いです。
安全な整数の範囲を超える値は概算で示します。
45個から6個 — 五つの値がどう分かれるか
初期値 n = 45、r = 6 では、順列 45P6 は 45×44×43×42×41×40 = 5,864,443,200 です。同じ六つを並べる方法が 6! = 720 通りあるので、組合せ 45C6 はそれを720で割った 8,145,060 になります。重複順列 45⁶ は 8,303,765,625、重複組合せ 45H6 は 50C6 = 15,890,700、45! はおよそ 1.196×10⁵⁶ です。同じ二つの数からこれだけ大きさの違う五つの値が出るので、どれを使うかは名前ではなく「何を数えたいのか」で選ぶのが安全です。
階乗を全部掛けずに数える方法
nCr は n!/(r!(n−r)!) をそのまま計算しません。rとn−rの小さいほうをkとし、1からkまで一段ずつ (n−k+i) を掛けて i で割ることを繰り返します。各段階の値はそれ自体が二項係数なので常に整数で、途中の値が答えより大きくなりません。だから 100C50 ≒ 1.0089×10²⁹ も出ます。値が約9,007兆(2⁵³)を超えると桁を全部書いても末尾が偽りになるため、指数表記に切り替えます — 20! = 2.4329×10¹⁸ からそうなります。171! は浮動小数点の範囲を超えて ∞ と表示されます。
確率の欄は「そのうちの一つ」の確率です
確率は 1/nCr です。すべての組合せが同じ確率で出るとして、あらかじめ選んだ一つの組合せがぴったり当たる確率を出します。45C6 なら 1.228×10⁻⁷ で、「何回に一回」は 8,145,060 です。指数表記の e-7 は小数点を左に七桁ずらす意味なので 0.0000001228 です。六つのうち五つだけ当たる確率やボーナス数字は数えません。それは当たった個数ごとに組合せを分けて掛ける、別の計算です。
重複を許せば r が n より大きくても構いません
順列と組合せは r > n だと選ぶものが足りず0になり、画面が警告を出します。しかし重複順列 nʳ と重複組合せ (n+r−1)Cr はその場合でも値があります — n = 3、r = 5 なら 3P5 = 3C5 = 0 ですが、3⁵ = 243、3H5 = 7C5 = 21 です。四桁の暗証番号は 10⁴ = 10,000 通り、0〜9 から四つを順序なし・重複ありで選ぶと 10H4 = 13C4 = 715 通りです。n と r は1,000まで入れられます。
よくある質問
Qどれを使えばよいか分かりません
二つだけ決めれば決まります。順番を区別するか、同じものを二度選べるか です。くじの当選番号は順番を区別せず重複もしないので組合せ、暗証番号は順番を区別し重複も許すので単純な累乗です。
Q数が大きすぎて表示できません
階乗はすぐ膨らみます。20! で19桁、171! は倍精度の範囲を出て無限大になります。途中で溢れないよう掛ける順は工夫してありますが、2⁵³(約9,007兆)を超えた値は末尾が丸まります。
Qロトの確率はどう出しますか
45個から6個を選ぶ組合せ、つまり8,145,060通りのうちの1です。この画面で n=45、r=6 の組合せを出せばその数が得られます。当選確率そのものは扱いません — ここが出すのは通り数です。