2차방정식 계산기
판별식으로 근의 꼴을 가리고, 실근·중근·허근과 꼭짓점까지 냅니다.
판별식 b² − 4ac 의 부호가 답의 꼴을 정합니다 — 양수면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근, 음수면 켤레복소근입니다. 이 화면은 근의 공식을 그대로 쓰지 않습니다. b가 크고 4ac가 작으면 −b + √D 에서 비슷한 두 수를 빼게 되어 유효숫자가 날아가기 때문에, 부호가 겹치지 않는 쪽을 먼저 내고 나머지는 근과 계수의 관계로 얻습니다.
계수
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0 이면 1차식이 됩니다.
근
서로 다른 두 실근
x = 3, 2
판별식 b² − 4ac
1
그래프
- 꼭짓점 x
- 2.5
- 꼭짓점 y
- -0.25
- 두 근의 합
- 5
- 두 근의 곱
- 6
판별식이 양수면 두 실근, 0이면 중근, 음수면 켤레복소근입니다.
근의 공식을 그대로 쓰지 않고 자릿수 소실을 피하는 방식으로 냅니다 — b 가 크고 4ac 가 작을 때 값이 더 정확합니다.
x² − 5x + 6 을 풀면
기본값 a = 1, b = −5, c = 6 에서 판별식은 (−5)² − 4×1×6 = 1 로 양수라 서로 다른 두 실근입니다. 화면은 먼저 q = −(b + b와 같은 부호의 √D)/2 = −(−5 − 1)/2 = 3 을 내고, 한 근은 q/a = 3, 다른 근은 c/q = 2 로 얻습니다. 꼭짓점은 x = −b/2a = 2.5, y = c − b²/4a = 6 − 6.25 = −0.25 입니다. 두 근의 합 5는 −b/a, 곱 6은 c/a 와 같습니다 — 근이 맞는지 이 두 줄로 되짚어 볼 수 있습니다.
판별식이 음수일 때 화면에 나오는 것
x² + 2x + 5 는 판별식이 4 − 20 = −16 이라 실근이 없습니다. 화면은 실수부 −b/2a = −1 과 허수부 √16/2a = 2 를 나눠 x = −1 ± 2i 로 적습니다. 꼭짓점 (−1, 4) 는 x축 위에 있어 포물선이 축과 만나지 않는다는 것을 그림 없이도 알 수 있습니다. 근이 복소수여도 합 −2 와 곱 5 는 실수입니다. 켤레인 두 수를 더하면 허수부가 지워지고 곱하면 제곱의 합이 되기 때문입니다. 허수부는 부호를 떼고 절댓값으로 보여 줍니다.
a 가 0이면 1차식으로 풉니다
a = 0 이면 bx + c = 0 이라 근은 −c/b 하나이고 화면도 1차식이라고 밝힙니다. b 까지 0이면 c 가 무엇이든 근이 없다고 답합니다 — 0 = 0 인 항등식도 「모든 수」라 하지 않고 근 없음으로 둡니다. 이때 꼭짓점·합·곱 칸에는 0이 적히지만 뜻이 있는 값이 아닙니다. 포물선이 없으니 꼭짓점도 없는 것입니다. a 가 0.0001 처럼 작기만 하면 여전히 2차식으로 풀고, 그때 한 근은 아주 커집니다.
소수 여섯 자리에서 접습니다
모든 값은 소수 여섯 자리까지만 적습니다. x² + 100,000,000x + 1 의 두 근은 −100,000,000 과 −0.00000001 인데, 근의 공식을 그대로 쓰면 작은 근이 −b + √D 의 뺄셈에서 0으로 사라지고, 이 화면은 c/q 로 내어 −1×10⁻⁸ 을 정확히 얻습니다. 그러나 여섯 자리에서 접으면 화면에는 −0 으로 보입니다. 계산은 맞고 표시가 접힌 것입니다. 계수는 소수를 받고 ±10억 안에서 넣을 수 있습니다.
자주 묻는 질문
Q허근은 무슨 뜻인가요?
그래프가 x축과 만나지 않는다는 뜻입니다. 실수 범위에서는 해가 없고, 복소수까지 넓히면 a ± bi 꼴의 켤레인 두 근이 있습니다. 이 화면은 그 실수부와 허수부를 나눠 보여 줍니다.
Qa가 0이면 어떻게 되나요?
2차식이 아니라 1차식이 되므로 근이 하나입니다(bx + c = 0). b도 0이면 방정식이 성립하지 않거나 항등식이 되어 이 화면은 근이 없다고 답합니다.
Q근의 공식을 그대로 쓰면 오차가 난다던데요?
납니다. b 가 크고 4ac 가 작으면 −b + √(b²−4ac) 에서 비슷한 두 수를 빼게 되어 유효숫자가 날아갑니다(자릿수 소실). 그래서 부호가 겹치지 않는 쪽을 먼저 내고, 나머지는 근과 계수의 관계(두 근의 곱 = c/a)로 얻습니다.