二次方程式の解
解の公式で根を出します。判別式・頂点・軸まで併せて示します。
ax² + bx + c = 0 の根を解の公式で求めます。判別式 b²−4ac の符号で、異なる二つの実数解・重解・二つの虚数解に分かれます。この画面は根だけでなく、判別式・頂点・軸・y切片も示します — 根が虚数のときにグラフがどうなっているかが分かるようにするためです。
係数
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0なら一次方程式になります。
根
異なる二つの実数解
x = 3, 2
判別式 b² − 4ac
1
グラフ
- 頂点のx
- 2.5
- 頂点のy
- -0.25
- 二根の和
- 5
- 二根の積
- 6
判別式が正なら実数解が二つ、0なら重解、負なら共役な複素数解になります。
解の公式をそのまま使うのではなく、数値的に安定した形で計算しています — bが大きく4acが小さいときに正確です。
x² − 5x + 6 を解くと
初期値 a = 1、b = −5、c = 6 では判別式が (−5)² − 4×1×6 = 1 で正なので、異なる二つの実数解です。画面はまず q = −(b + bと同じ符号の√D)/2 = −(−5 − 1)/2 = 3 を出し、一つの解を q/a = 3、もう一つを c/q = 2 として得ます。頂点は x = −b/2a = 2.5、y = c − b²/4a = 6 − 6.25 = −0.25 です。二解の和5は −b/a、積6は c/a と一致します — 解が合っているかをこの二行で確かめられます。
判別式が負のとき画面に出るもの
x² + 2x + 5 は判別式が 4 − 20 = −16 で、実数解がありません。画面は実部 −b/2a = −1 と虚部 √16/2a = 2 を分けて x = −1 ± 2i と書きます。頂点 (−1, 4) はx軸の上にあり、放物線が軸と交わらないことがグラフなしでも分かります。解が複素数でも和 −2 と積 5 は実数です。共役な二数を足すと虚部が消え、掛けると平方の和になるからです。虚部は符号を外して絶対値で示します。
a が0なら一次式として解きます
a = 0 なら bx + c = 0 なので解は −c/b の一つで、画面も一次式だと示します。b まで0なら c が何であれ解なしと答えます — 0 = 0 の恒等式も「すべての数」とはせず、解なしのままにします。このとき頂点・和・積の欄には0が書かれますが、意味のある値ではありません。放物線がないので頂点もないのです。a が 0.0001 のように小さいだけなら依然として二次式として解き、そのとき一方の解は非常に大きくなります。
小数第六位で丸めます
すべての値は小数第六位までしか書きません。x² + 100,000,000x + 1 の二つの解は −100,000,000 と −0.00000001 ですが、解の公式をそのまま使うと小さいほうの解が −b + √D の引き算で0に消えてしまい、この画面は c/q で出して −1×10⁻⁸ を正確に得ます。ところが第六位で丸めると画面には −0 と見えます。計算は合っていて、表示が丸められただけです。係数は小数を受け付け、±10億の範囲で入れられます。
よくある質問
Q虚数解も出ますか
出ます。判別式が負のときは実部と虚部に分けて示します。虚数解は放物線がx軸と交わらないことを意味し、グラフ上では頂点がx軸の上(a>0のとき)にあります。
Qaが0のときは
二次方程式ではなくなるので、一次方程式として解きます。bも0なら方程式として成り立たないため、その旨を示します。
Q解の公式で誤差が出ることがあると聞きました
あります。bが非常に大きくacが小さいとき、−b + √(b²−4ac) は近い二数の引き算になって桁落ちします。この画面はその場合に、根と係数の関係(二根の積 = c/a)を使って精度を保つ書き換えを行います。